Post Image

Üslü Denklemler


1) Tabanları eşit olan üslü denklemler:

Birbirine eşit iki üslü ifadede taban birbirine eşit ise üsler de birbirine eşittir.
a \in R - \{-1,0,1\} ve x,y \in Z-\{0\}

a^x=a^y ise x=y olur.

(tabanı -1 ve 1 olan üslü ifadeleri ayrıca inceleyeceğiz.)

Örnek: 3^x=3^5 ise x=5

Örnek: 5^(^x^-^3^)=5^7 ise x-3=7 ve x=8 olur.

Örnek: 2^(^2^x^-^3^)=8 ise x kaçtır?

Çözüm: 2^(^2^x^-^3^)=2^3

2x-3=3

2x=6

x=3 olur.

Örnek: 8^3^x=16 ise x kaçtır?

Çözüm: (2^3 )^3^x=2^4

2^9^x=2^4

9.x=4

x=\frac{4}{9} olur.

Örnek: 3^x^+^1-3^x^-^1=24 ise x kaçtır?

Çözüm: Eşitliğin sol tarafını 3^x türünden yazıp 3^x parantezine alalım.

3.3^x-\frac{3^x}{3}=24

Paydaları eşitleyelim.

\frac{9.3^x-3^x}{3}=24

\frac{8.3^x}{3}=24

her iki tarafı \frac{3}{8} ile çarparsak 3^x yalnız kalır.

3^x=24.\frac{3}{8}

3^x=9

x=2 bulunur.

2) Üsleri eşit olan denklemler:

Üsleri eşit olan ifadelerin tabanları da eşittir. Burada dikkat edilmesi gereken kuvvet çift ise iki farklı çözüm vardır. Tabanlar önce birbirine eşitlenerek ilk çözüm bulunur daha sonra tabanlardan birinin işareti değiştirilerek diğer tabanla eşitlenir. Kuvvet tek ise bir çözüm vardır. Tabanlar eşitlenerek sonuç bulunur.

a,b \in R - \{-1,0,1\} ve x \in Z-\{0\}

a^x=b^x için

x tek ise a=b olur.

x çift ise a=b veya a=-b olur.

Örnek: (3x+1)^5=(6-2x)^5 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: kuvvetler eşit ve tek sayı olduğu için tabanlar eşitlenerek çözüm yapılır.

3x+1=6-2x

3x+2x=6-1

5x=5 ise x=1 bulunur.

Örnek: (3x+1)^6=(6-2x)^6 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm: kuvvetler eşit ve çift sayı olduğu için iki çözüm bulacağız.

3x+1=6-2x

3x+2x=6-1

5x=5 ise x=1 bulunur.

3x+1=-(6-2x)

3x+1=-6+2x

3x-2x=-6-1 ise x=-7 bulunur.

Çözüm kümesi: \{1,-7\}

3) x^n=1 durumu:

x=1

x=-1 ise n çift sayı

n sıfır ise x sıfırdan farklıdır.

Örnek: (x+2)^(^3^x^+^1^)=1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

Çözüm:

x+2=1 ise x=-1

x+2=-1 ise x=-3

x=-3 için kuvvet çift olmalı (3x+1)=(3.(-3)+1)=-9+1=-8

(-1)^(^-^8^)=1

3x+1=0 için (x+2) sıfırdan farklı olmalı

3x+1=0 ise x=\frac{-1}{3}

x+2=\frac{-1}{3}+2=\frac{5}{3} sıfırdan farklı

Çözüm kümesi= \{ -1, -3, \frac{-1}{3} \}


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla