Trigonometrik Denklemler 2

$1)$ $tanx=a$ Denkleminin Çözümü

$a\in R$ olmak üzere;

$tanx=a$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki kökü $\alpha$ ise;

$tanx=tan\alpha$ $\Rightarrow$ $\quad$ $x=\alpha+k.\pi$ , $k \in Z$

$Ç=\{x:x=\alpha +k.\pi,k \in Z\}$
$\bigbreak$

$2)$ $cotx=a$ Denkleminin Çözümü
$\bigbreak$
$a\in R$ olmak üzere;

$cotx=a$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki kökü $\alpha$ ise;

$cotx=cot\alpha$ $\Rightarrow$ $\quad$ $x=\alpha+k.\pi$ , $k \in Z$

$Ç=\{x:x=\alpha +k.\pi,k \in Z\}$
$\bigbreak$

$ÖRNEK1:$
$\bigbreak$
$cotx=\frac{1}{\sqrt{3}}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM1:$
$\bigbreak$
$cotx=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ise $cotx=cot60^\circ$
$\bigbreak$
$Ç=\{x:x=60^\circ+k.180^\circ, k\in Z \}$
$\bigbreak$
$ÖRNEK2:$
$\bigbreak$
$tan3x=1$ denkleminin $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ aralığında kaç tane kökü vardır?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM2:$
$\bigbreak$
$tan3x=1$ ise $tan3x=tan\frac{\pi}{4}$
$\bigbreak$
$\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{4} + k.\pi, k \in Z\Rightarrow$ $\quad$ $x=\frac{\pi}{12}+ k.\frac{\pi}{3}, k\in Z$
$\bigbreak$
$k=3$ için; $x = \frac{\pi}{12}+\pi = \frac{13\pi}{12}$ ,
$\bigbreak$
$k=4$ için; $x = \frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{3} = \frac{17\pi}{12}$ olacaktır.
$\bigbreak$
O halde, bu denklemin belirtilen aralıkta 2 tane kökü vardır.
$\bigbreak$
$ÖRNEK3:$
$\bigbreak$
$tan(4x-40^\circ)=-\sqrt{3}$ denklemini sağlayan $\textbf{\underline{en büyük negatif}}$ x değeri kaç derecedir?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM3:$
$\bigbreak$
$tan(4x-40^\circ)=-\sqrt{3}$ $\quad$ ise $tan(4x-40^\circ)=tan120^\circ$
$\bigbreak$
$4x-40^\circ=120^\circ + k.180^\circ$ $\Rightarrow$ $\quad$ $x=40^\circ + k.45^\circ$
$\bigbreak$
$k=-1$ için; $x=40^\circ - 45^\circ = -5^\circ$ olarak bulunur.
$\bigbreak$
$ÖRNEK4:$
$\bigbreak$
$cot(2x+\frac{\pi}{6})=cot(x-\frac{\pi}{4})$ denkleminin $[\frac{\pi}{2},\pi]$ aralığındaki kökü kaç radyandır?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM4:$
$\bigbreak$
$cot(2x+\frac{\pi}{6})=cot(x-\frac{\pi}{4})$ ise $2x+\frac{\pi}{6}=x-\frac{\pi}{4}$
$\bigbreak$
$\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} + k.\pi , k\in Z =-\frac{5\pi}{12} + k.\pi, k\in Z$ olur. Buradan;
$\bigbreak$
$k=1$ için; $x=\frac{7\pi}{12}$ olarak bulunur.
$\bigbreak$
$ÖRNEK5:$
$\bigbreak$
$cot5x=tan20^\circ$ denkleminin $[0,\pi]$ aralığında kaç tane kökü vardır?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM5:$
$\bigbreak$
$cot5x=tan20^\circ$ $\Rightarrow$ $\quad$ $cot5x=cot70^\circ$ olur.
$\bigbreak$
$\Rightarrow$ $\quad$ $5x=70^\circ + k.180^\circ , k\in Z$
$\bigbreak$
$\Rightarrow$ $\quad$ $x=14^\circ + k.36^\circ , k\in Z$
$\bigbreak$
$\Rightarrow$ $\quad$ $x=14^\circ ,50^\circ, 86^\circ, 122^\circ, 158^\circ$ olduğu için bu denklemin $[0,\pi]$ aralığında 5 tane kökü vardır.
$\bigbreak$
$ÖRNEK6:$
$\bigbreak$
$3cosx-\sqrt{3}sinx=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
$\bigbreak$
$ÇÖZÜM6:$
$\bigbreak$
$3cosx-\sqrt{3}sinx=0$ $\Rightarrow$ $\quad$ $3cosx=\sqrt{3}sinx\Rightarrow$ \quad $\frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ $\quad$ $tanx=\sqrt{3}$ olur.
$\bigbreak$
$tanx=\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ $\quad$ $x=60^\circ + k.180^\circ, k\in Z$
$\bigbreak$
$Ç=\{x:x=60^\circ + k.180^\circ, k\in Z\}$ olarak bulunur.