Post Image

Trigonometrik Denklemler 2


1) tanx=a Denkleminin Çözümü

a\in R olmak üzere;

tanx=a denkleminin [0,2\pi) aralığındaki kökü \alpha ise;

tanx=tan\alpha \Rightarrow \quad x=\alpha+k.\pi, k \in Z

Ç=\{x:x=\alpha +k.\pi,k \in Z\}
\bigbreak

2) cotx=a Denkleminin Çözümü
\bigbreak
a\in R olmak üzere;

cotx=a denkleminin [0,2\pi) aralığındaki kökü \alpha ise;

cotx=cot\alpha \Rightarrow \quad x=\alpha+k.\pi, k \in Z

Ç=\{x:x=\alpha +k.\pi,k \in Z\}
\bigbreak

ÖRNEK1:
\bigbreak
cotx=\frac{1}{\sqrt{3}} denkleminin çözüm kümesi nedir?
\bigbreak
ÇÖZÜM1:
\bigbreak
cotx=\frac{1}{\sqrt{3}} ise cotx=cot60^\circ
\bigbreak
Ç=\{x:x=60^\circ+k.180^\circ, k\in Z \}
\bigbreak
ÖRNEK2:
\bigbreak
tan3x=1 denkleminin [\pi,\frac{3\pi}{2}] aralığında kaç tane kökü vardır?
\bigbreak
ÇÖZÜM2:
\bigbreak
tan3x=1 ise tan3x=tan\frac{\pi}{4}
\bigbreak
\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{4} + k.\pi, k \in Z\Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{12}+ k.\frac{\pi}{3}, k\in Z
\bigbreak
k=3 için; x = \frac{\pi}{12}+\pi = \frac{13\pi}{12},
\bigbreak
k=4 için; x = \frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{3} = \frac{17\pi}{12} olacaktır.
\bigbreak
O halde, bu denklemin belirtilen aralıkta 2 tane kökü vardır.
\bigbreak
ÖRNEK3:
\bigbreak
tan(4x-40^\circ)=-\sqrt{3} denklemini sağlayan \textbf{\underline{en büyük negatif}} x değeri kaç derecedir?
\bigbreak
ÇÖZÜM3:
\bigbreak
tan(4x-40^\circ)=-\sqrt{3} \quad ise tan(4x-40^\circ)=tan120^\circ
\bigbreak
4x-40^\circ=120^\circ + k.180^\circ \Rightarrow \quad x=40^\circ + k.45^\circ
\bigbreak
k=-1 için; x=40^\circ - 45^\circ = -5^\circ olarak bulunur.
\bigbreak
ÖRNEK4:
\bigbreak
cot(2x+\frac{\pi}{6})=cot(x-\frac{\pi}{4}) denkleminin [\frac{\pi}{2},\pi] aralığındaki kökü kaç radyandır?
\bigbreak
ÇÖZÜM4:
\bigbreak
cot(2x+\frac{\pi}{6})=cot(x-\frac{\pi}{4}) ise 2x+\frac{\pi}{6}=x-\frac{\pi}{4}
\bigbreak
\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} + k.\pi , k\in Z =-\frac{5\pi}{12} + k.\pi, k\in Z olur. Buradan;
\bigbreak
k=1 için; x=\frac{7\pi}{12} olarak bulunur.
\bigbreak
ÖRNEK5:
\bigbreak
cot5x=tan20^\circ denkleminin [0,\pi] aralığında kaç tane kökü vardır?
\bigbreak
ÇÖZÜM5:
\bigbreak
cot5x=tan20^\circ \Rightarrow \quad cot5x=cot70^\circ olur.
\bigbreak
\Rightarrow \quad 5x=70^\circ + k.180^\circ , k\in Z
\bigbreak
\Rightarrow \quad x=14^\circ + k.36^\circ , k\in Z
\bigbreak
\Rightarrow \quad x=14^\circ ,50^\circ, 86^\circ, 122^\circ, 158^\circ olduğu için bu denklemin [0,\pi] aralığında 5 tane kökü vardır.
\bigbreak
ÖRNEK6:
\bigbreak
3cosx-\sqrt{3}sinx=0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
\bigbreak
ÇÖZÜM6:
\bigbreak
3cosx-\sqrt{3}sinx=0 \Rightarrow \quad 3cosx=\sqrt{3}sinx\Rightarrow \quad \frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3} \Rightarrow \quad tanx=\sqrt{3} olur.
\bigbreak
tanx=\sqrt{3} \Rightarrow \quad x=60^\circ + k.180^\circ, k\in Z
\bigbreak
Ç=\{x:x=60^\circ + k.180^\circ, k\in Z\} olarak bulunur.


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla