Post Image

Trigonometrik Denklemler 1


1) sinx=a Denkleminin Çözümü

-1 \leq a \leq 1 olmak üzere sinx=a denkleminin [0,2\pi) aralığındaki bir kökü \alpha ise;

sinx = sin\alpha denkleminin çözüm kümesi,

x=\alpha + 2k\pi veya x=\pi- \alpha + 2k\pi olur.

Ç=\{x:x=\alpha + 2k\pi \lor\ x=\pi-\alpha + 2k\pi,k\in Z\} olacaktır.

2) cosx=a Denkleminin Çözümü

-1 \leq a \leq 1 olmak üzere cosx=a denkleminin [0,2\pi) aralığındaki bir kökü \alpha ise;

cosx = cos\alpha denkleminin çözüm kümesi,

x=\alpha + 2k\pi veya x=- \alpha + 2k\pi olur.

Ç=\{x:x=\alpha + 2k\pi \lor\ x=-\alpha + 2k\pi,k\in Z\} olacaktır.

ÖRNEK1:

sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM1:

sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} ise x=\frac{\pi}{3} veya x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3} olacaktır. O halde denklemin çözüm kümesi;

Ç=\{x:x=\frac{\pi}{3} + 2k\pi \lor\ x= \frac{2\pi}{3}+ 2k\pi,k\in Z\} olur.

ÖRNEK2:

cosx=\frac{1}{2} denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM2:

cosx=\frac{{1}}{2} ise x=\frac{\pi}{3} veya x=-\frac{\pi}{3} olacaktır.

x=-\frac{\pi}{3} değerinin [0,2\pi) aralığındaki karşılığı 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3} olur.

O halde;

Ç=\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\} olarak bulunur.

ÖRNEK3:

sinx=-\frac{{1}}{2} denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM3:

sinx=-\frac{{1}}{2} ise x=\frac{7\pi}{6} veya x=\pi-\frac{7\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} olacaktır.

O halde;

Ç=\{x:x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \lor x= \frac{11\pi}{6}+2k\pi,k\in Z\} olarak bulunur.

ÖRNEK4:

cos2x=\frac{{\sqrt{2}}}{2} denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM4:

Birim çembere üzerinde kosinüsü \frac{\sqrt{2}}{2} olan açılar, \frac{\pi}{4} ve -\frac{\pi}{4} olduğundan;

2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi veya 2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi olur.

Buradan çözüm kümesi;

Ç=\{x:x=\frac{\pi}{8}+k\pi veya x=-\frac{\pi}{8}+k\pi,k\in Z\} olarak bulunur.

ÖRNEK5:

sin(3x-45^\circ)=-1 denkleminin [0,2\pi) aralığında kaç tane kökü vardır?

ÇÖZÜM5:

sin(3x-45^\circ)=sin270^\circ ise 3x-45^\circ=270^\circ+k.360^\circ olur. Buradan;
\bigbreak
x=105^\circ+k.120^\circ olacaktır.

k=0 için; x=105^\circ,

k=1 için; x=225^\circ,

k=2 için; x=345^\circ olarak bulunur. O halde bu denklemin [0,2\pi) aralığında 3 tane kökü vardır.

ÖRNEK6:

cos(4x-30^\circ)=cos(x+90^\circ) denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM6:

4x-30^\circ=x+90^\circ+k.360^\circ veya 4x-30^\circ=-x-90^\circ+k.360^\circ

x=40^\circ+k.120^\circ veya x=-12^\circ+k.72^\circ\Rightarrow x=348^\circ+k.72^\circ olur.

Buradan çözüm kümesi;

Ç=\{x:x=40^\circ+k.120^\circ \lor x=348^\circ+k.72^\circ, k\in Z \}

ÖRNEK7:

cos(2x-15^\circ)=sinx denkleminin [0,2\pi) aralığındaki kökleri toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM7:

cos(2x-15^\circ)=cos(90^\circ-x) olur. Buradan;

2x-15^\circ=90^\circ-x+k.360^\circ veya 2x-15^\circ=-90^\circ+x+k.360^\circ olur.

\{x=35^\circ+k.120^\circ,k\in Z\} veya \{x=-75^\circ+k.360^\circ,k\in Z\} buradan;
\{x=35^\circ+k.120^\circ,k\in Z\} veya \{x=285^\circ+k.360^\circ,k\in Z\}

k=0 için; x=35^\circ ve x=285^\circ

k=1 için; x=155^\circ

k=2 için; x=275^\circ

Kökler Toplamı= 35^\circ+155^\circ+275^\circ+285^\circ=750^\circ olarak bulunur.


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla