Trigonometrik Denklemler 1

$1)$ $sinx=a$ Denkleminin Çözümü

-1 $\leq$ $a$ $\leq$ 1 olmak üzere $sinx=a$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki bir kökü $\alpha$ ise;

$sinx = sin\alpha$ denkleminin çözüm kümesi,

$x=\alpha + 2k\pi$ veya $x=\pi- \alpha + 2k\pi$ olur.

$Ç=\{x:x=\alpha + 2k\pi$ $\lor\ x=\pi-\alpha + 2k\pi,k\in Z\}$ olacaktır.

$2)$ $cosx=a$ Denkleminin Çözümü

-1 $\leq$ $a$ $\leq$ 1 olmak üzere $cosx=a$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki bir kökü $\alpha$ ise;

$cosx = cos\alpha$ denkleminin çözüm kümesi,

$x=\alpha + 2k\pi$ veya $x=- \alpha + 2k\pi$ olur.

$Ç=\{x:x=\alpha + 2k\pi$ $\lor\ x=-\alpha + 2k\pi,k\in Z\}$ olacaktır.

$ÖRNEK1:$

$sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

$ÇÖZÜM1:$

$sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ise $x=\frac{\pi}{3}$ veya $x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$ olacaktır. O halde denklemin çözüm kümesi;

$Ç=\{x:x=\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ $\lor\ x= \frac{2\pi}{3}+ 2k\pi,k\in Z\}$ olur.

$ÖRNEK2:$

$cosx=\frac{1}{2}$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?

$ÇÖZÜM2:$

$cosx=\frac{{1}}{2}$ ise $x=\frac{\pi}{3}$ veya $x=-\frac{\pi}{3}$ olacaktır.

$x=-\frac{\pi}{3}$ değerinin $[0,2\pi)$ aralığındaki karşılığı $2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$ olur.

O halde;

$Ç=\{\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\}$ olarak bulunur.

$ÖRNEK3:$

$sinx=-\frac{{1}}{2}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

$ÇÖZÜM3:$

$sinx=-\frac{{1}}{2}$ ise $x=\frac{7\pi}{6}$ veya $x=\pi-\frac{7\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$ olacaktır.

O halde;

$Ç=\{x:x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \lor x= \frac{11\pi}{6}+2k\pi,k\in Z\}$ olarak bulunur.

$ÖRNEK4:$

$cos2x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

$ÇÖZÜM4:$

Birim çembere üzerinde kosinüsü $\frac{\sqrt{2}}{2}$ olan açılar, $\frac{\pi}{4}$ ve $-\frac{\pi}{4}$ olduğundan;

$2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ veya $2x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ olur.

Buradan çözüm kümesi;

$Ç=\{x:x=\frac{\pi}{8}+k\pi$ veya $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi,k\in Z\}$ olarak bulunur.

$ÖRNEK5:$

$sin(3x-45^\circ)=-1$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığında kaç tane kökü vardır?

$ÇÖZÜM5:$

$sin(3x-45^\circ)=sin270^\circ$ ise $3x-45^\circ=270^\circ+k.360^\circ$ olur. Buradan;
\bigbreak
$x=105^\circ+k.120^\circ$ olacaktır.

$k=0$ için; $x=105^\circ$ ,

$k=1$ için; $x=225^\circ$ ,

$k=2$ için; $x=345^\circ$ olarak bulunur. O halde bu denklemin $[0,2\pi)$ aralığında 3 tane kökü vardır.

$ÖRNEK6:$

$cos(4x-30^\circ)=cos(x+90^\circ)$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

$ÇÖZÜM6:$

$4x-30^\circ=x+90^\circ+k.360^\circ$ veya $4x-30^\circ=-x-90^\circ+k.360^\circ$

$x=40^\circ+k.120^\circ$ veya $x=-12^\circ+k.72^\circ\Rightarrow x=348^\circ+k.72^\circ$ olur.

Buradan çözüm kümesi;

$Ç=\{x:x=40^\circ+k.120^\circ \lor x=348^\circ+k.72^\circ, k\in Z \}$

$ÖRNEK7:$

$cos(2x-15^\circ)=sinx$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki kökleri toplamı kaçtır?

$ÇÖZÜM7:$

$cos(2x-15^\circ)=cos(90^\circ-x)$ olur. Buradan;

$2x-15^\circ=90^\circ-x+k.360^\circ$ veya $2x-15^\circ=-90^\circ+x+k.360^\circ$ olur.

$\{x=35^\circ+k.120^\circ,k\in Z\}$ veya $\{x=-75^\circ+k.360^\circ,k\in Z\}$ buradan;
$\{x=35^\circ+k.120^\circ,k\in Z\}$ veya $\{x=285^\circ+k.360^\circ,k\in Z\}$

$k=0$ için; $x=35^\circ$ ve $x=285^\circ$

$k=1$ için; $x=155^\circ$

$k=2$ için; $x=275^\circ$

Kökler Toplamı= $35^\circ+155^\circ+275^\circ+285^\circ=750^\circ$ olarak bulunur.

Trigonometrik Denklemler 1

BENZER YAZILAR

Trigonometrik Denklemler 2

İki Kat Açı(Yarım Açı) Formülleri

Toplam-Fark Formülleri(Tan-Cot)

Bir cevap yazın Cevabı iptal et

Popüler Yazılar

Mutlak Değerli Denklemler

Hareket Grafikleri

Küme Problemleri Çözümlü Örnekler 1

Alt Küme ( Örnekler )

Bölünebilme Kuralları Soru Çözümü

Sayı Problemleri Çözümlü Test

Ebob-Ekok Çözümlü Sorular 2

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Fiziksel Niceliklerin Sınıflandırılması

Adezyon ve Kohezyon