Temel Kavramlar 5 Çözümlü Soru

$Soru$ $1.$ Toplamları $40$ olan pozitif tam sayıların çarpımı en büyük kaç olabilir?

$Çözüm:$ Toplanan sayıların adedi belli olmadığından birkaç örnekle soruyu anlamaya çalışalım.

$20+20=40$

$2$ tane $20$ yi çarparsak $20.20=400$ bulunur.

$10+10+10+10=40$

$4$ tane $10$ u çarparsak $10.10.10.10=10000$ bulunur.

$5+5+5+5+5+5+5+5=40$

$8$ tane $5$ i çarparsak $5^8=390625$ bulunur.

Son işlemde $5$ yerine $3+2$ kullanacak olursak $3.2=6$ olduğundan çarpım daha da büyüyecektir. Toplamları verilen sayıların çarpımının en büyük olması için toplanan sayılar $3$ ve $2$ olmalıdır. Çarpımın en büyük olması için $3$ sayılarının en fazla olması gerekir. Örneğin; toplamları $6$ olan sayılar düşünüldüğünde $2+2+2=6$ , $2.2.2=8$ ve $3+3=6$ , $3.3=9$ olur. Soruya dönecek olursak toplamları $40$ olan sayılar için; $40=12.3+2.2$ şeklinde yazarsak çarpımları: $3^1^2.2^2$ olur.

$Soru$ $2.$ $n^5+n^4$ ifadesi tam kare olacak şekilde $50$ den küçük kaç farklı $n$ doğal sayısı vardır?

$Çözüm:$ $(n^5+n^4)=n^4(n+1)$ ifadesinin tam kare olabilmesi için $(n+1)$ in tam kare olması gerekir. O halde $n+1=m^2$ olacak şekilde bir $m$ doğal sayısı vardır. $n=m^2-1<50$
$m^2<51$ olacağından $m:1,2,3,4,5,6,7$ değerlerini alabilir dolayısıyla $n:0,3,8,15,24,35,49$ yani $7$ farklı değer alabilir.

$Soru$ $3.$ $\frac{54}{5},\frac{57}{6},\frac{60}{7},\frac{63}{8},\dots$ şeklinde devam eden bir sayı dizisinin kaç terimi tam sayıdır?

$Çözüm:$ Sayıların payları $3$ er artarken paydaları da $1$ er artmaktadır. Sayıların genel halini $n$ pozitif tam sayı olacak şekilde yazacak olursak:

$\frac{51+3n}{4+n}$ elde edilir. Kesri düzenlemeye çalışalım;

$\frac{51+3n}{4+n}=\frac{3n+12+39}{4+n}=\frac{3n+12}{4+n}+\frac{39}{4+n}=3+\frac{39}{4+n}$ elde edilir. Bu ifadenin tamsayı olması için $39$ un $(n+4)$ e bölünebilmesi gerekir.

$39$ in bölenleri:{ $1,3,13,39$ } bu değerler aynı zamanda $n+4$ ün alabileceği değerlerdir. $n+4$ pozitif tamsayı olduğundan $13$ ve $39$ değerlerini alabilir. Sonuç olarak $n:9,35$ değerlerini alabilir. Yani $2$ tane tam sayı elde edilir.

$Soru$ $4.$ $a$ ve $b$ birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, $\frac{1}{3n}=0,\overline{ab}$ olacak şekilde kaç $n$ pozitif tamsayısı vardır?

$Çözüm:$ $\frac{1}{3n}=0,\overline{ab}=\frac{ab}{99}$ Buradan; $3n=\frac{99}{ab}$ olur ve eşitliğin her iki tarafını $3$ e bölersek $n=\frac{33}{ab}$ olarak bulunur. $n$ bir tamsayı olduğuna göre $ab$ sayısının $33$ ü bölmesi gerekir. Buradan; $ab:1,3,11,33$ olabilir fakat $a$ ve $b$ birbirinden farklı rakamlar olduğuna göre $11$ ve $33$ değerlerini alamaz. $ab:01,03$ değerlerini alabilir.

Dolayısıyla; $n=\frac{33}{01}=33$ ve $n=\frac{33}{03}=11$ olmak üzere $2$ farklı $n$ sayısı vardır.

$Soru$ $5.$ $4$ basamaklı $a67b$ sayısının 72 ile tam bölünebildiğine göre, $a+b$ kaçtır?

$Çözüm:$ $a67b$ sayısının 72 ile tam bölünebilmesi için hem $8$ e hem de $9$ a tam bölünmesi gerekir. Bir sayının son $3$ basamağı $8$ in katı ise o sayı $8$ e tam bölünür. $67b$ sayısı $8$ e tam bölündüğüne göre $b=2$ olur. $a672$ sayısının $9$ a tam bölünebilmesi için rakamları toplamının $9$ un tam katı olması gerekir.