Post Image

Temel Kavramlar 5 Çözümlü Soru


Soru 1. Toplamları 40 olan pozitif tam sayıların çarpımı en büyük kaç olabilir?

Çözüm: Toplanan sayıların adedi belli olmadığından birkaç örnekle soruyu anlamaya çalışalım.

20+20=40

2 tane 20yi çarparsak 20.20=400 bulunur.

10+10+10+10=40

4 tane 10u çarparsak 10.10.10.10=10000 bulunur.

5+5+5+5+5+5+5+5=40

8 tane 5i çarparsak 5^8=390625 bulunur.

Son işlemde 5 yerine 3+2 kullanacak olursak 3.2=6 olduğundan çarpım daha da büyüyecektir. Toplamları verilen sayıların çarpımının en büyük olması için toplanan sayılar 3 ve 2 olmalıdır. Çarpımın en büyük olması için 3 sayılarının en fazla olması gerekir. Örneğin; toplamları 6 olan sayılar düşünüldüğünde 2+2+2=6, 2.2.2=8 ve 3+3=6, 3.3=9 olur. Soruya dönecek olursak toplamları 40 olan sayılar için; 40=12.3+2.2 şeklinde yazarsak çarpımları: 3^1^2.2^2 olur.

Soru 2. n^5+n^4 ifadesi tam kare olacak şekilde 50den küçük kaç farklı n doğal sayısı vardır?

Çözüm: (n^5+n^4)=n^4(n+1) ifadesinin tam kare olabilmesi için (n+1)in tam kare olması gerekir. O halde n+1=m^2 olacak şekilde bir m doğal sayısı vardır. n=m^2-1<50
m^2<51 olacağından m:1,2,3,4,5,6,7 değerlerini alabilir dolayısıyla n:0,3,8,15,24,35,49 yani 7 farklı değer alabilir.

Soru 3. \frac{54}{5},\frac{57}{6},\frac{60}{7},\frac{63}{8},\dots şeklinde devam eden bir sayı dizisinin kaç terimi tam sayıdır?

Çözüm: Sayıların payları 3er artarken paydaları da 1er artmaktadır. Sayıların genel halini n pozitif tam sayı olacak şekilde yazacak olursak:

\frac{51+3n}{4+n} elde edilir. Kesri düzenlemeye çalışalım;

\frac{51+3n}{4+n}=\frac{3n+12+39}{4+n}=\frac{3n+12}{4+n}+\frac{39}{4+n}=3+\frac{39}{4+n} elde edilir. Bu ifadenin tamsayı olması için 39un (n+4)e bölünebilmesi gerekir.

39in bölenleri:{1,3,13,39} bu değerler aynı zamanda n+4ün alabileceği değerlerdir. n+4 pozitif tamsayı olduğundan 13 ve 39 değerlerini alabilir. Sonuç olarak n:9,35 değerlerini alabilir. Yani 2 tane tam sayı elde edilir.

Soru 4. a ve b birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, \frac{1}{3n}=0,\overline{ab} olacak şekilde kaç n pozitif tamsayısı vardır?

Çözüm: \frac{1}{3n}=0,\overline{ab}=\frac{ab}{99} Buradan; 3n=\frac{99}{ab} olur ve eşitliğin her iki tarafını 3e bölersek n=\frac{33}{ab} olarak bulunur. n bir tamsayı olduğuna göre ab sayısının 33ü bölmesi gerekir. Buradan; ab:1,3,11,33 olabilir fakat a ve b birbirinden farklı rakamlar olduğuna göre 11 ve 33 değerlerini alamaz. ab:01,03 değerlerini alabilir.

Dolayısıyla; n=\frac{33}{01}=33 ve n=\frac{33}{03}=11 olmak üzere 2 farklı n sayısı vardır.

Soru 5. 4 basamaklı a67b sayısının 72 ile tam bölünebildiğine göre, a+b kaçtır?

Çözüm: a67b sayısının 72 ile tam bölünebilmesi için hem 8e hem de 9a tam bölünmesi gerekir. Bir sayının son 3 basamağı 8in katı ise o sayı 8e tam bölünür. 67b sayısı 8e tam bölündüğüne göre b=2 olur. a672 sayısının 9a tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 9un tam katı olması gerekir.

a+6+7+2=9k, a+15=9k ise a=3 olur. a+b=2+3=5 bulunur.


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla