Post Image

Sayılar


            Kökleri insanlık tarihi kadar eski olan günlük hayatın her yerinde sıklıkla kullandığımız, hayatımızın olmazsa olmazı olan “sayılar” konusundan bahsedelim. Sayılar bilindiği üzere en temel anlamıyla çoklukları ifade etmemize yarıyor. Sayıları ifade etmemize yarayan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerine ise “rakam” adını veriyoruz. Dolayısıyla rakamla sayıyı karıştırmamak gerekiyor. “Rakam” dediğimiz sayıları oluşturmak için kullandığımız bu on adet sembole verdiğimiz isim. Matematiğin güzel tarafı şu ki rakamları kullanarak istediğimiz her sayıyı yazabiliyor olmamız yani bir nevi bu on adet sembolü kullanarak sonsuzluğu elde etmiş oluyoruz. Ancak sayılar dediğimiz kavram sadece bu yazdıklarımdan ibaret değil elbette. İnsanoğlu geçmişten günümüze sayma ile ilgili karşılaştığı problemlere çözüm bulabilmek adına sürekli olarak bilgilerini güncellemek durumunda kalmış. Bu durum ise sayı kümelerinin oluşumu olarak karşımıza çıkmış. Şimdi bu sayı kümeleri nelerdir ondan bahsedelim.

            İlk olarak bahsedeceğimiz sayı kümesi “SAYMA SAYILARI” kümesi. “Sayma sayıları” adından da anlaşılacağı üzere günlük hayatta herhangi bir çokluğu sayarken kullandığımız elemanların oluşturduğu kümeye verdiğimiz isim. Mesela bir toplulukta 20 kişi olsun ve bizden o toplulukta kaç kişi olduğunu saymamız istensin. Bu sayma işlemini yaparken herhangi bir kişiden başlayarak bütün topluluğu 1, 2, 3, 4, …, 20 şeklinde sayıyoruz. Bu şekilde herhangi bir çokluğu (sonlu ya da sonsuz) bu sayılarla bire bir eşleyebilmek için kullandığımız {1, 2, 3, 4, 5, …} kümesine “Sayma sayıları” adını veriyoruz. 

            İkinci olarak bahsedeceğimiz sayı kümesi “DOĞAL SAYILAR” kümesi. Sayma sayıları için herhangi bir çokluğu saymak için kullandığımız sayı kümesidir demiştik. Fakat her zaman bir çokluk olmak durumunda değil bazen de doğada bir yokluk durumunun olduğu aşikardır. Diyelim ki bize sınıfta kaç öğrenci olduğu sorulmuş olsun. Gittik, sınıfın kapısını açtık ve sınıfın boş olduğunu gördük. Dolayısıyla bu örnekte “sayma sayıları” kümesi işimize yaramadı. Sayma sayıları kümesine yokluğu ifade eden “0” rakamını eklersek bu soruya tam bir cevap verebilmemiz mümkün. İşte “sayma sayıları” kümesine “0” rakamını ekleyerek elde ettiğimiz {0, 1, 2, 3, …} kümesine “Doğal sayılar” kümesi adını veriyoruz. Doğal sayılar kümesini “ ” sembolü ile ifade ediyoruz. Kısacası = {0, 1, 2, 3, …} kümesine “Doğal sayılar” kümesi diyeceğiz.

            Gelelim “TAM SAYILAR” kümesine. Tam olarak ifade edilen çokluklar arasında işlem yapmak kolaydır fakat şöyle bir problemimiz var. Örneğin cebimizde 20 tl paramız olduğunu düşünelim. Bakkala gittik ve alışveriş yaptık. Alışverişimiz 30 tl tuttu diyelim. Bu durumda arada 10 tl lik bir fark var ancak bu fark istemediğimiz yönde (yani NEGATİF bir durum söz konusu). Haliyle bu farkı ifade edebilmemiz için bir işarete ihtiyacımız var. O işaret ise “ (eksi)” işareti. Sayma sayılarının her birinin önüne bu işareti koyarak bu problemin önüne geçmiş oluyoruz. Bu durumda “Tam sayılar” kümesi dediğimiz küme                 {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} kümesi oluyor. Tam sayılar kümesini ise  sembolü ile ifade ediyoruz. Kısacası;   = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} kümesine “Tam sayılar” kümesi diyeceğiz.

            Dördüncü sayı kümemiz “Rasyonel sayılar” kümesi. Yazımızın başında belirttiğimiz gibi sayı kümelerinin oluşumu karşılaştığımız problemin çözümü için elimizdeki verilerin bize yetmemesi durumunda yeni şeyler oluşturma çabasından kaynaklanmakta. Rasyonel sayılar için de durum bundan ibaret. Tam sayılar kümesi ile tam olan çokluklar arasında işlem yapabiliyorken şöyle bir problemle karşılaşıyoruz. Diyelim elimizde bir tane elma var ve iki kişiyiz. Bu elmayı eşit olarak paylaşmak istiyoruz. Bu durumda ikimizin payına düşen elma miktarı tam olarak ifade edilemez hale geliyor. İşte tam da burada imdada “rasyonel sayılar” kümesi yetişiyor. Örneğimizde olduğu gibi tam olan bir çokluğu başka bir tam sayıya bölmemiz gerektiğini fark ediyoruz (Bir elmayı ikiye bölmek = ½). O halde rasyonel sayıları şöyle ifade edeceğiz. Herhangi iki tamsayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara “Rasyonel sayılar” diyeceğiz ve rasyonel sayılar kümesini “ ” sembolü ile ifade edeceğiz. Matematiksel olarak ifade edersek;

            Rasyonel sayılar için iki tam sayının bölümü şeklinde ifade edilebilen sayılardır dedik fakat bazı sayılar var ki o sayılar herhangi iki sayının bölümü şeklinde ifade edilemiyor. Örneğin herhangi bir çemberin çevre uzunluğunu çap uzunluğuna böldüğümüzde elimize bir sabit çıkıyor (Pi sayısı) ve bu sabit herhangi iki tamsayının bölümü şeklinde ifade edilemiyor çünkü oluşan bu sayının virgülde sonraki kısmı tam olarak tahmin edilemiyor. O yüzden biz bu gibi sayılara “İrrasyonel (Rasyonel olmayan) sayılar” kümesi diyoruz. İrrasyonel sayıları ifade ederken kullandığımız sembol ise bu küme için rasyonel olmayan sayılar dediğimiz için  olarak karşımıza çıkıyor.

            “Rasyonel sayılar” ile “İrrasyonel sayıların” birleşimi bizim için gerçek hayatta karşımıza çıkabilecek bütün sayıları veriyor. O yüzden bu iki kümenin birleşimine “Reel (Gerçek) sayılar” kümesi diyeceğiz ve bu kümeyi sembolü ile ifade edeceğiz. O halde  biçiminde gösterilmiş oluyor.  

            Sayma sayılar kümesini herhangi bir sembol ile ifade etmedik ancak bakıldığında pozitif doğal sayıların sayma sayıları olduğu görülüyor. Bu sebepten sayma sayıları kümesini ile ifade edebiliriz.

Peki yazıyı okurken şu bağlantıyı fark ettiniz mi? Problemin çözümüne ulaşamadığımız durumlarda elimizdeki sayı kümelerini genişletme yoluna gittik hep. Yani sayma sayıları yetmediğinde doğal sayılara ihtiyacımız oldu ve doğal sayılar kümesi sayma sayılar kümesini içinde barındırıyor. Aynı şekilde tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesini, rasyonel sayılar kümesi tam sayılar kümesini, reel sayılar kümesi ise rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerini kapsıyor. Genel olarak bir şema ile ifade edersek;

Sayılar

sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi bu şekilde gösterebiliriz.


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla