Sayı Çeşitleri

            Sayma sayıları, Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar, İrrasyonel sayılar ve Reel sayılar olmak üzere sayı kümelerinden bahsetmiştik. Şimdi de taşıdığı özellikler açısından belli başlı özelliklere sahip olan sayı çeşitlerinden bahsedelim.

            İlk olarak bahsedeceğimiz “Çift sayılar” ve “Tek sayılar”.Çift kelime anlamı olarak “birbirini tamamlayan iki tekten oluşan nesneler” demek yani buradan anlayacağımız çift kelimesinin 2 sayısı ile ilişkili olduğu. Buradan hareketle 2 sayısına tam bölünebilen sayılara “çift sayı”, bölünemeyen sayılara “tek sayı” diyeceğiz. Peki herhangi bir sayının 2’ye tam bölünüp bölünmediğini sürekli bölme işlemi yaparak mı göreceğiz? Mesela 87002546987632150450547 gibi bir sayı verildi ve tek mi çift mi incelememiz gerekiyor. Bu durumda bölme işlemi yapmak sanki birazcık mantıksız gibi geliyor değil mi? Ne yapmamız gerek o halde? Herhangi bir sayının 2 sayısına bölünüp bölünmemesini etkileyen tek etken sayının birler basamağı. Eğer sayının birler basamağındaki rakam 2’nin katı ise sayı çift sayı, değilse sayı tek sayı oluyor. Kısacası sayının birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8 ise çift, 1, 3, 5, 7, 9 ise tek oluyor. Matematiksel olarak ifade edersek:

nZ olmak üzere;

Çift sayılar kümesi= {…, -2n, …, -4, -2, 0, 2, 4, …, 2n, …}

Tek sayılar kümesi= {…, -(2n+1), …, -3, -1, 1, 3, …, (2n+1), …}

            Çift ve Tek sayıların neler olduğunu anladığımıza göre bu sayıları kendi aralarında ya da karşılıklı olarak işleme tabi tuttuğumuzda hangi sonuçlar karşımıza çıkıyor onları inceleyelim.

1) İki tek sayının toplamı veya farkı bize bir çift sayı verecektir. İki tek sayıyı çarptığımızda ise sonucun yine tek olduğunu göreceğiz. Herhangi bir T tek sayısı için;

T+T nin sonucu çift,

T-T nin sonucu çift,

TxTnin sonucu tek.

2) İki çift sayınının toplamı, farkı ve çarpımı yine bir çift sayıdır. Herhangi bir Ç çift sayısı için;

Ç+Ç nin sonucu çift,

Ç-Ç nin sonucu çift,

ÇxÇnin sonucu çift.

3) Herhangi bir tek sayı ile çift sayıyı topladığımızda ve çıkardığımızda sonuç tek sayı, çarptığımızda ise sonuç çift sayı olacaktır. T herhangi bir tek sayı ve Ç herhangi bir çift sayı olsun.

T+Ç ve Ç+T nin sonucu tek,

T-Ç ve Ç-Tnin sonucu tek,

TxÇ ve ÇxTnin sonucu çift.

Temel olarak tek ve çift sayılar arasında yapılan işlemler sonucunda elde edeceğimiz sonuçlar bunlar. Dikkat edilmesi gereken nokta şu ki matematikte kullandığımız 4 işlemden toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri için hangi sonuçları elde ettiğimizi rahatlıkla ifade edebiliyoruz fakat bu durum bölme için geçerli değil. Bunun sebebi şu ki herhangi iki tek sayıyı veya çift sayıyı aldığımızda bu iki sayı birbirine her zaman tam olarak bölünmek durumunda değil. Dolayısıyla biz sonucun tek veya çift sayı olmasından bahsedemeyiz ancak şu şekilde özel bir notla durumu kısıtlayabiliriz;

Eğer iki tek sayıdan büyük olan küçük olan sayıya tam bölünüyorsa sonuç tek sayı çıkacaktır,

Eğer iki çift sayıdan büyük olan küçük olan sayıya tam bölünüyorsa ise sonuç tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin 4, 6 ve 12 sayılarını alalım. 12’yi 6’ya bölünce 2 sayısını elde ederiz çift sayıdır. 12’yi 4’e böldüğümüzde ise 3 sayısını elde ederiz sonuç tek sayıdır.

            Son olarak tek veya çift sayıların herhangi bir doğal sayı kuvvetini alırsak sonuç ne olur? Bilindiği üzere bir sayının kuvveti demek o sayının kuvveti kaç ise o kadar adet yan yana yazılıp çarpılması demektir. O halde buradan çıkaracağımız sonuç şu;

i) Herhangi bir tek sayının doğal sayı kuvveti alınırsa o tek sayıdan yan yana yazıp çarpacağız demektir ki tek sayıların çarpımı her zaman tek olduğu için sonuç yine tek olacaktır. Kısaca bir tek sayının bütün doğal sayı kuvvetleri tektir.

ii) Herhangi bir çift sayının doğal sayı kuvveti alınırsa o çift sayıdan yan yana yazıp çarpacağız demektir ki çift sayıların çarpımı her zaman çift olduğu için sonuç yine çift olacaktır. Kısaca bir çift sayının bütün doğal sayı kuvvetleri çifttir.

            İkinci olarak bahsedeceğimiz “Pozitif sayılar” ve “Negatif sayılar”.  0 sayısından büyük reel sayılara “pozitif sayı”, küçük olan reel sayılara ise “negatif sayı” diyoruz. 0 sayısı ise ne pozitif ne de negatif sayıdır. Pozitif ve negatif sayılar arasında yapılan işlemler sonucunda nasıl sonuçlarla karşılaşıyoruz onu inceleyelim:

1) İki pozitif sayının toplamı pozitif sayıdır.

2) İki negatif sayının toplamı ise negatif sayıdır. Bunu kolayca şöyle anlayabiliriz. Diyelim ki borçlu olduğumuz iki kişi var ve toplamda ne kadar borcumuz olduğunu bulmak istiyoruz. Sonuç olarak borçlarımızı topladığımızda yine borç elde ediyoruz yani sonuç yine negatif.

3) Herhangi iki pozitif veya negatif sayı arasında yapacağımız çıkarma işlemi için eğer eksilen çıkan sayıdan büyük ise sonuç pozitif, eksilen çıkandan küçük ise sonuç negatif olur. 

4) Eğer bir pozitif sayı ile bir negatif sayıyı topluyorsak yapacağımız şey şu. İşaretine bakmaksızın büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarıyoruz ve sonucun önüne büyük olanın işareti ne ise onu koyuyoruz. Örneğin;

-12 ve 3 sayılarını alalım. 12+3=?

 İşarete bakmaksızın büyük sayıdan küçüğü çıkaralım yani 12-3=9 sayısını elde ettik. Büyük olan sayı 12 ve işareti “-“ olduğuna göre sonuç -9 olmalıdır.

-6 ve 10 sayılarını alalım. -6+10=?

İşarete bakmaksızın büyük sayıdan küçüğü çıkaralım yani 10-6=4. Büyük olan sayı 10 ve işareti “+” olduğuna göre sonuç +4 olmalıdır.

Peki bir pozitif sayı ile bir negatif sayıyı topladığımızda sonucun “0” çıkabileceğini yani ne pozitif ne de negatif olamayacağını fark ettiniz mi?

5) Aynı işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü pozitiftir.

6) Zıt işaretli iki sayının çarpımı ya da bölümü negatiftir.

5. ve 6. maddede yazdıklarımızın neden böyle olduğunu basitçe açıklayalım.

Diyelim ki daha önceden 30 liralık alışverişimi aylık 10 lira taksitle 3 ayda ödeyeceğim.

+10 alacak olsun.

-10 verecek(borç) olsun.

+3 borcun üç kere ödenmesi olsun.

-3 borcun üç kere ödenmemesi olsun.

Bu durumda eğer 3 ay boyunca borcumu ödersem 3 x (-10) = -30 lira cebimden çıkan para olur.

3 ay boyunca borcumu ödemezsem -3 x (-10) =30 lira cebimde kalan para olur.

Eğer alacaklı olan ben isem ve 3 ay boyunca 10 liralık alacağımı tahsil edersem; 3×10=30 lira cebimde para olur. Buradan anlaşılacağı üzere;

(-3) x (-10) = 3 x 10 = 30 dur.

7) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.

8) Negatif sayıların tek sayı kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri ise pozitiftir. Bunu şöyle anlayabiliriz. Yan yana tek sayıda negatif sayı çarpılırsa şöyle bir durum oluşur. Yazdığımız sayıları ikişer ikişer gruplarsak geriye bir tane gruplayamadığımız sayı kalır. Grupladığımız iki negatif sayının çarpımı pozitiftir fakat sonda kalan gruplanamayan sayı negatif olduğu için çarpımın sonucu negatiftir. Yan yana çift sayıda negatif sayı çarpılırsa sonuç pozitif olur.

            Son olarak bahsedeceğimiz sayı çeşidi ise “Asal sayılar”. Matematik tarihinde son derece önemli bir yer tutmakta asal sayılar. Bugün bile gizemi hala tam olarak çözülebilmiş değil. Asal sayıların sonsuz tane olduğunu biliyoruz ama işin gizemli tarafı şu ki asal sayıları belirlemeye yönelik herhangi bir formül yok. Eratosten süzgeci olarak bilinen yöntem belli bir tam sayıya kadar olan asal sayıları bulmamıza yarıyorsa da sayılar büyüdükçe bu işlemi yapabilmek mümkün görünmüyor. İşte bu yönüyle asal sayılar matematik tarihinde gizemini hala korumakta. Gelelim asal sayıların tanımına. Sadece iki pozitif tam sayı böleni olan sayılara “asal sayı” adını veriyoruz. Asal sayılarla ilgili sıklıkla karşılaşılan tanım “bir sayı sadece 1’e ve kendine bölünüyorsa o sayıya asal sayı denir.” biçiminde ancak bu tanım en küçük asal sayının kaç olduğu konusunda biraz kafa karışıklığına sebep olabiliyor. Peki en küçük asal sayı kaç? Bu tanıma göre bizi şaşırtacak olan sayı 1 sayısı çünkü incelendiğinde 1 sayısı 1’e ve kendine bölünüyor yani bu tanıma göre asal olması gerekiyor gibi gelebilir fakat 1 sayısı asal sayı değildir çünkü bir sayının asal olabilmesi için sadece iki tane tam sayı böleni olması gerekmektedir oysa ki 1 sayısının sadece bir tane pozitif böleni vardır. Dolayısıyla 1 sayısı asal sayı değildir. O halde en küçük asal sayı 2 sayısı olacaktır ve görüp görebileceğimiz sadece bir tane çift asal sayı vardır geri kalan asal sayıların hepsi tektir.

            Sayı çeşitleri ile ilgili olan kısmımızda son olarak “Aralarında asal sayılar” kavramından bahsetmek istiyorum. Öncelikle aralarında asal sayıların asal sayılarla bir ilgisi yok. Tanım gereği herhangi iki sayının en büyük ortak böleni 1 ise bu iki sayıya aralarında asal sayı diyoruz. Burada karıştırılmaması gereken nokta şu ki alacağımız sayıların asal sayı olmasına gerek yok. Örnek vermek gerekirse;

9 ve 10 sayıları asal sayı değillerdir ancak 9 ve 10 sayıları aralarında asal sayılardır. Çünkü bu iki sayıyı da ortak olarak bölen 1 sayısından başka tam sayı yoktur.

Aralarında asal sayılar kavramını matematiksel olarak ifade edersek;

a ve b herhangi iki sayı olsun.

Eğer OBEB(a,b) = 1 ise a ve b sayıları aralarında asal sayılardır.