Polinomlarda Bölme İşlemi

Bir polinomu basit tek terimden daha karmaşık bir polinoma bölerseniz, o zaman sadeleştirme için farklı bir yöntem kullanmanız gerekir. Bu yönteme “uzun polinom bölmesi” denir ve tıpkı ilkokulda yaptığınız uzun (sayısal) bölme gibi çalışır, tek farkı değişkenlerle bölme yapıyoruz.

Sayılarla bölmeye bir örnek vererek başlayalım;

Önce genel halini verelim;

Yukarıda verilen işlemde A bölünen sayı, B bölen sayı, C bölüm ve K da kalan olarak adlandırılır. Şimdi sayısal bir örnek vererek devam edelim.

Yukarıdaki işlemde 155 bölünen, 14 bölen, 11 bölüm ve 1 kalan olarak adlandırılır. Ayrıca dikkat edecek olursak kalan sayı bölenden küçüktür. Kalan her zaman bölenden küçük olmalıdır.

Şimdi polinom bölmesiyle ilgili örneklerimize geçelim;

Örnek:

$P(x)=x^2+6x-7$ polinomu $Q(x)=x+1$ polinomuna bölerek bölüm ve kalanı bulalım.

Polinomda uzun bölme, neredeyse sayılardaki bölme ile aynı şekilde çalışır:

Önce bölme işlemimizi oluşturalım:

İlk olarak bölünen polinomdaki en büyük dereceli terimi elde etmeye çalışmalıyız. Bunun için bölen polinomu x ile çarpmak yeterli olacaktır.

yukarıdaki işlemde $x$ ile $x+1$ i çarparsak $x^2+x$ ifadesini elde ederiz ve bu polinomu P(x) ten çıkararak işleme devam edelim.

Burada bir çıkarma işlemi yapıldığı için $x^2+x$ ifadesinin işareti değiştirilmelidir. Dikkat edilecek olursa $x^2$ li terimler sadeleşiyor. Ayrıca işlem tamamlandığında $-7x+7$ bulunur.

Artık bölünen polinomumuz $-7x+7$ polinomudur. Bölen polinomu yani $x+1$ i $-7$ ile çarparsak $-7x$ i elde edebiliriz. $(x+1).(-7)=-7x-7$ bulunur.

Son olarak $-7x+7$ den $-7x-7$ yi çıkararak işlemi tamamlayalım. Burada çıkarma işlemi yaptığımız için $-7x-7$ nin işaretinin değişeceğini unutmamalıyız.