Mutlak Değerli Eşitsizlikler

İçerisinde mutlak değer bulunan eşitsizliklerin özelliklerini inceleyelim:

• a, pozitif bir reel sayı olmak üzere;

|x|< a ise –a < x < a olur.

|x|≤ a ise –a ≤ x ≤ a olur.

• a, pozitif bir reel sayı olmak üzere;

|x|> a ise x > a veya x < –a olur.

|x|≥ a ise x ≥ a veya x ≤ –a olur.

ÖRNEK: |2x – 5| – 3 ≤ 8 eşitsizliğinin;

1. Reel sayılar kümesindeki çözüm kümesi nedir?
2. Doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Mutlak değerli eşitsizliği yalnız bırakırsak;

|2x – 5| ≤ 11 eşitsizliğini elde ederiz. Yukarıda yazmış olduğumuz 1. Özellikten biliyoruz ki;

–11 ≤ 2x – 5 ≤ 11 olmalı. Bu kısımdan sonra birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik çözümü yapıyoruz.

–6 ≤ 2x ≤ 16 olur. Buradan –3 ≤ x ≤ 8 olarak bulunur.

1. Reel sayılar kümesindeki çözüm kümesi dediğine göre –3 ve 8 arasındaki bütün reel sayıları alıyoruz. Bu kümeyi aralık olarak ifade edebiliriz bu yüzden Ç.K. = [–3, 8] olarak bulunur.
2. Doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesi için – 3 ve 8 arasındaki doğal sayıları alırsak Ç.K. = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olarak bulunur.

ÖRNEK: |3a + 6| > 12 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Yukarıda yazmış olduğumuz 2. Özelliğe göre;

3a + 6 > 12 veya 3a + 6 < –12 olmalı. İki eşitsizlik de ayrı ayrı incelenirse;

3a > 6 veya 3a < –18 olur. Buradan da

a > 2 veya a < –6 olmalıdır. Çözüm kümesini aralık olarak ifade edersek;

Ç.K. = (–∞, –6)  (2, ∞) olarak bulunur.

ÖRNEK: –3 < |2x + 1| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayısı değeri vardır?

ÇÖZÜM: Mutlak değerli ifade iki sayının arasında bir değer alıyorsa iki durumda inceleyebiliriz.

1. Mutlak değerin içindeki ifade bu sayıların arasındadır.
2. Mutlak değerin içindeki ifadenin eksi ile çarpılmış hali bu sayıların arasındadır.

O halde bu iki durumu ayrı ayrı incelersek;

–3 < 2x + 1 ≤ 7 veya  –3 < –2x – 1 ≤ 7 olmalıdır.

–4< 2x ≤ 6 veya –2<–2x ≤ 8

–2< x ≤ 3 veya –4 ≤ x <1 olur. Bu aralıklara göre x’ in alabileceği tamsayı değerleri: –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 olarak bulunur.

ÖRNEK: |x – 3| < |x + 5| eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?

ÇÖZÜM: Eşitsizlikleri tek bir tarafta toplayalım.

|x – 3| – |x + 5| < 0 eşitsizliğini elde ederiz. Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerleri (kritik noktaları) bulalım.

x – 3 = 0 ise x = 3

x + 5 = 0 ise x = –5 olarak bulunur. Bu kritik noktalara göre üç durum söz konusudur.

• x<–5 için;

–x + 3 –(–x – 5) < 0 olur. Buradan düzenlemeler yapılırsa;

8 < 0 kalır. Bu eşitsizlik yanlış olduğu için de bu kısımdan çözüm elde edemeyiz yani bu aralık için de çözüm kümesi boş kümedir.

• –5 ≤ x < 3 için;

–x + 3 –(x + 5) < 0 olur. Düzenlersek;

–2x – 2 < 0 olur. Buradan x >– 1  olarak bulunur.  O halde buradan elde edeceğimiz aralık (–1, 3] aralığı olacaktır.

• x > 3 için;

x – 3 –(x + 4) < 0 olur. Düzenlersek;

– 7< 0 kalır. Bu eşitsizlik doğru olduğu için x > 3 için sağlanıyor demektir. O halde buradan da (3, ∞) aralığını elde ederiz. O halde bu eşitsizlik için elde ettiğimiz tek aralık (– 1, ∞) olarak bulunur.

Yeni yazılardan haberdar olmak için:

İnstagramdan bizi takip edebilirsiniz: https://www.instagram.com/matgunluk/

Pinterestten bizi takip edebilirsiniz: www.pinterest.com/matgunlukleri

Facebooktan bizi takip edebilirsiniz: https://www.facebook.com/matematikgunlugu19/