Post Image

Mutlak Değerli Denklemler


İçerisinde mutlak değer bulunan denklemlerin özelliklerini inceleyelim:

  • a bir reel sayı ve a ≥ 0 olmak üzere;

| x | = a ise x = a veya x = – a olur.  

  • | x | = | y | ise x = y veya x = –y olur.
  •  olmak üzere;

| x + a | + | x + b | = c denkleminin çözüm kümesi bulunurken;

Mutlak değerlerin içindeki ifadelerin kökleri bulunur.

x + a = 0 ise x = – a

x + b = 0 ise x = – b olur. (– b <– a). Bulunan köklere göre üç durum vardır:

  1. – b ≤ x ise mutlak değerli ifadeler şu şekilde dışarı çıkar;

–x – a – x – b = c olur. Buradan denklem düzenlenir ve kökü bulunur. Eğer bulunan kök – b ≤ x koşulunu sağlıyorsa çözüm kümesine alınır.

  1. – b < x ≤ a ise mutlak değerli ifadeler şu şekilde dışarı çıkar;

–x – a + x + b = c olur. Buradan denklem düzenlenir ve kökü bulunur. Eğer bulunan kök – b < x ≤ a koşulunu sağlıyorsa çözüm kümesine alınır.

  1. x >– a ise mutlak değerli ifade şu şekilde dışarı çıkar;

x + a + x + b = c olur. Buradan denklem düzenlenir ve kökü bulunur. Eğer bulunan kök x > – a koşulunu sağlıyorsa çözüm kümesine alınır.

ÖRNEK: 4. | x – 2 | + 5 = 17 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakalım.

4. | x – 2 | = 12

| x – 2 | = 3 olur. | x – 2 | = 3 ise x – 2 = 3 veya x – 2 = –3 olmalıdır.

Buradan x = 5 veya x = – 1 olarak bulunur. Ç.K.= {– 1, 5} olur.

ÖRNEK: ||2x – 8|– 6 | = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Birden fazla mutlak değer var. Dıştaki mutlak değerin sonucu 4 olarak verilmiş soruyu çözmeye bu kısmı yorumlayarak başlıyoruz.

||2x – 8|– 6 | = 4 ise |2x – 8|– 6 = 4 veya |2x – 8|– 6 = – 4 olmalı. Şimdi mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakalım.

|2x – 8|– 6 = 4 için mutlak değer yalnız bırakılırsa;

|2x – 8| = 10 olacaktır. O halde 2x – 8 = 10 veya 2x – 8 = –10 olmalıdır. Buradan x = 9 veya x = –1 olarak bulunur.  

|2x – 8|– 6 = – 4 için mutlak değer yalnız bırakılırsa;

|2x – 8| = 2 olacaktır. O halde 2x – 8 = 2 veya 2x – 8 = – 2 olmalıdır. Buradan       x = 5 veya x = 3 olarak bulunur.

            Ç.K.= {–1, 3, 5, 9} olarak bulunur.

ÖRNEK: |5x – 6| = |2x + 9| denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: İki mutlak değerli ifade birbirine eşit ise bu ifadeler ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin eksi ile çarpımına eşittir.

5x – 6 = 2x + 9 veya 5x – 6 = –2x – 9 olmalıdır.

  • 5x – 6 = 2x + 9 ise 3x = 15 ve x = 5 olarak bulunur.
  • 5x – 6 = –2x – 9 ise 7x = – 3 ve x = olarak bulunur. 

Ç.K.= { , 5} olarak bulunur.

ÖRNEK: |x – 3| + |x + 4| = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM: Öncelikle mutlak değerin içindeki ifadelerin köklerini bulalım.

x – 3 = 0 ise x = 3 tür.

x + 4 = 0 ise x = –4 tür. Bulduğumuz köklere göre üç durum oluşacaktır. Bu durumları tek tek inceleyelim:

  • x ≤  – 4 ise mutlak değerli ifadeler şu şekilde dışarı çıkar;

–x + 3 – x – 4 = 7 olur. Denklemi düzenleyelim:

–2x – 1 = 7 olur. Buradan –2x = 8 ve x = – 4 olur. Bulduğumuz kök incelediğimizi aralıkta olduğu için x = – 4 değeri çözüm kümesinin elemanıdır.

  •  – 4 < x ≤ 3 ise mutlak değerli ifadeler şu şekilde dışarı çıkar;

–x + 3 + x + 4 = 7 olur. Denklem düzenlendiğinde 7 = 7 ifadesi kalacaktır. Bu eşitlik doğru olduğu için – 4 < x ≤ 3 aralığındaki her sayı bu denklemi sağlayacaktır. Yani (– 4, 3] aralığıdır.

  • x > 3 ise mutlak değerli ifadeler şu şekilde dışarı çıkar;

x – 3 + x + 4 = 7 olur. Denklemi düzenleyelim:

2x + 1 = 7 olur. Buradan 2x = 6 ve x = 3 olarak bulunur. x = 3 için x > 3 olmadığı için bu kısımdan çözüm elde edemeyiz.

İncelediğimiz üç durum için bulunan çözümler bu denklemin çözüm kümesini oluşturacaktır.

Ç.K.= {– 4} (– 4 , 3] = [– 4, 3] olarak bulunur. 

Yeni yazılardan haberdar olmak için:

İnstagramdan bizi takip edebilirsiniz: https://www.instagram.com/matgunluk/

Pinterestten bizi takip edebilirsiniz: www.pinterest.com/matgunlukleri

Facebooktan bizi takip edebilirsiniz: https://www.facebook.com/matematikgunlugu19/


BENZER YAZILAR

2 Yorum

    İbrahim

    keşke biraz daha açıklasaydınız. Pek birşey anlamadım

    26 Mart 2021 Cevapla

Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla