Post Image

İntegral Soru Çözümü 1


Soru 1:

\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx integralinin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Hatırlatma: \int_{}^{} x^n \,dx=\frac{x^n^+^1}{n+1}+c

\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx=\frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+x+c

\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx=2x^3-2x^2+x+c

Soru 2:

\int_{}^{} 4x.(x^2-1) \,dx integralinin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Önce 4x i parantez içine dağıtalım daha sonra integral alalım.

\int_{}^{} 4x.(x^2-1) \,dx=\int_{}^{} (4x^3-4x) \,dx

\frac{4x^4}{4}-\frac{4x^2}{2}+c=x^4-2x^2+c

Soru 3:

\int_{}^{} 2x.\,d(x^3+2x) integralinin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Önce d(x^3+2x) ifadesi ile ilgilenelim.

d(x^3+2x)=(3x^2+2)dx

\int_{}^{} 2x.(3x^2+2)\,dx=\int_{}^{} (6x^3+4x)\,dx

\frac{6x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}+c=\frac{3x^4}{2}+2x^2+c

Soru 4:

\int_{}^{} f(x)\,dx=3x^2+4x+2 ise f(2) kaçtır?

Çözüm: \int_{}^{} f(x)\,dx=3x^2+4x+2 eşitliğinin iki tarafının da türevini alırsak f(x) i bulabiliriz.

\frac{d(\int_{}^{} f(x)\,dx)}{dx}=\frac{d(3x^2+4x+2)}{dx}

f(x)=6x+4 olarak bulunur.

f(2)=6.2+4=16

Soru 5:

Bir f(x) fonksiyonu için;

f^'(x)=3x^2+1 ve f(2)=13 ise f(0) kaçtır?

Çözüm:

\int_{}^{} f'(x)\,dx=\int_{}^{} 3x^2+1\,dx

f(x)=x^3+x+c olarak bulunur.

Şimdi c yi bulmak için f(2)=13 eşitliğini kullanalım.

f(2)=2^3+2+c=8+2+c=10+c=13

10+c=13

c=3

f(0)=0^3+0+3=3

f(0)=3

Soru 6:

\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx integralinin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Verilen integralleri birleştirip payda eşitleyelim.

\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx=\int_{}^{} [\frac{f'(x)}{x^3}-\frac{3f(x)}{x^4}]\,dx

Şimdi paydaları eşitleyelim.

\int_{}^{} [\frac{xf'(x)-3f(x)}{x^4}]\,dx

Bulduğumuz ifade iki fonksiyonunun bölümünün türevine benziyor.

Hatırlatma:

\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{g^2(x)}

Çözüme dönecek olursak;

\frac{xf'(x)-3f(x)}{x^4} ifadesini x^2 ile genişletelim.

\frac{x^3f'(x)-3x^2f(x)}{x^6} olur. Bu ifade;

\frac{f(x)}{x^3} fonksiyonunun türevine eşittir. O halde;

\int_{}^{} [\frac{x^3f'(x)-3x^2f(x)}{x^6}]\,dx=\frac{f(x)}{x^3}+c

Sonuç olarak;

\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx=\frac{f(x)}{x^3}+c


BENZER YAZILAR

Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla