Anasayfa12. Sınıfİntegral Soru Çözümü 1

İntegral Soru Çözümü 1

Ahmet GÖKSU

13 Nisan 2021 12. Sınıf , İntegral

$Soru 1:$

$\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx$ integralinin sonucunu bulunuz.

$Çözüm:$

$Hatırlatma:$ $\int_{}^{} x^n \,dx=\frac{x^n^+^1}{n+1}+c$

$\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx=\frac{6x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+x+c$

$\int_{}^{} (6x^2-4x+1) \,dx=2x^3-2x^2+x+c$

$Soru 2:$

$\int_{}^{} 4x.(x^2-1) \,dx$ integralinin sonucunu bulunuz.

$Çözüm:$ Önce $4x$ i parantez içine dağıtalım daha sonra integral alalım.

$\int_{}^{} 4x.(x^2-1) \,dx=\int_{}^{} (4x^3-4x) \,dx$

$\frac{4x^4}{4}-\frac{4x^2}{2}+c=x^4-2x^2+c$

$Soru 3:$

$\int_{}^{} 2x.\,d(x^3+2x)$ integralinin sonucunu bulunuz.

$Çözüm:$ Önce $d(x^3+2x)$ ifadesi ile ilgilenelim.

$d(x^3+2x)=(3x^2+2)dx$

$\int_{}^{} 2x.(3x^2+2)\,dx=\int_{}^{} (6x^3+4x)\,dx$

$\frac{6x^4}{4}+\frac{4x^2}{2}+c=\frac{3x^4}{2}+2x^2+c$

$Soru 4:$

$\int_{}^{} f(x)\,dx=3x^2+4x+2$ ise $f(2)$ kaçtır?

$Çözüm:$ $\int_{}^{} f(x)\,dx=3x^2+4x+2$ eşitliğinin iki tarafının da türevini alırsak $f(x)$ i bulabiliriz.

$\frac{d(\int_{}^{} f(x)\,dx)}{dx}=\frac{d(3x^2+4x+2)}{dx}$

$f(x)=6x+4$ olarak bulunur.

$f(2)=6.2+4=16$

$Soru 5:$

Bir $f(x)$ fonksiyonu için;

$f^'$ $(x)=3x^2+1$ ve $f(2)=13$ ise $f(0)$ kaçtır?

$Çözüm:$

$\int_{}^{} f'(x)\,dx=\int_{}^{} 3x^2+1\,dx$

$f(x)=x^3+x+c$ olarak bulunur.

Şimdi $c$ yi bulmak için $f(2)=13$ eşitliğini kullanalım.

$f(2)=2^3+2+c=8+2+c=10+c=13$

$10+c=13$

$c=3$

$f(0)=0^3+0+3=3$

$f(0)=3$

$Soru 6:$

$\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx$ integralinin sonucunu bulunuz.

$Çözüm:$ Verilen integralleri birleştirip payda eşitleyelim.

$\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx=\int_{}^{} [\frac{f'(x)}{x^3}-\frac{3f(x)}{x^4}]\,dx$

Şimdi paydaları eşitleyelim.

$\int_{}^{} [\frac{xf'(x)-3f(x)}{x^4}]\,dx$

Bulduğumuz ifade iki fonksiyonunun bölümünün türevine benziyor.

$Hatırlatma:$

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{g^2(x)}$

Çözüme dönecek olursak;

$\frac{xf'(x)-3f(x)}{x^4}$ ifadesini $x^2$ ile genişletelim.

$\frac{x^3f'(x)-3x^2f(x)}{x^6}$ olur. Bu ifade;

$\frac{f(x)}{x^3}$ fonksiyonunun türevine eşittir. O halde;

$\int_{}^{} [\frac{x^3f'(x)-3x^2f(x)}{x^6}]\,dx=\frac{f(x)}{x^3}+c$

Sonuç olarak;

$\int_{}^{} \frac{f'(x)}{x^3}\,dx - \int_{}^{} \frac{3f(x)}{x^4}\,dx=\frac{f(x)}{x^3}+c$

BENZER YAZILAR

Bir cevap yazın Cevabı iptal et

✕

Matematik Günlüğü

BEDAVA

İNCELE