Post Image

Dönme Dönüşümü


\textbf{DÖNME DÖNÜŞÜMÜ}
\bigbreak

Düzlemde bulunan bir noktayı, bir merkez noktası ve belirli bir açı yardımıyla düzlemdeki başka bir noktaya eşleyen dönüşüme \textbf{dönme dönüşümü} denir.

Herhangi bir A noktasının orijin etrafında pozitif yönde \alpha açısı kadar dönme dönüşümü R_\alpha(A) ile gösterilir.

Analitik düzlemde A(a,b) noktasının orijin etrafında \alpha açısı kadar dönmesiyle elde edilen nokta A^{'}(m,n) olsun.
\bigbreak

sin\beta=\frac{b}{|OA|} \quad ve \quad cos\beta=\frac{a}{|OA|}
\bigbreak

cos(\beta + \alpha) = \frac{m}{|OA^{'}|} \quad ise \quad m = cos(\beta + \alpha).|OA^{'}| olur. \quad (|OA|=|OA^{'}|)
\bigbreak

m=|OA|.cos\beta . cos\alpha - |OA|.sin\beta . sin\alpha

m= |OA|.\frac{a}{|OA|}.cos\alpha - |OA|.\frac{b}{|OA|}.sin\alpha = a.cos\alpha - b.sin\alpha
\bigbreak

sin(\beta + \alpha) = \frac{n}{|OA^{'}|} \quad ise \quad n = sin(\beta + \alpha).|OA^{'}| olur. \quad (|OA|=|OA^{'}|)
\bigbreak

n=|OA|.sin\beta . cos\alpha + |OA|.cos\beta . sin\alpha

m= |OA|.\frac{b}{|OA|}.cos\alpha + |OA|.\frac{a}{|OA|}.sin\alpha = a.sin\alpha + b.cos\alpha
\bigbreak

Sonuç olarak A(a,b) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \alpha açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta;

A^{'}(m,n)=(a.cos\alpha - b.sin\alpha, a.sin\alpha + b. cos\alpha) olacaktır.
\bigbreak
\textbf{NOT:}
\bigbreak

A(a,b) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ ve 360^\circ döndürülmesiyle elde edilen noktalar;

R_{90^\circ}=(-b,a)

R_{180^\circ}=(-a,-b)

R_{270^\circ}=(b,-a)

R_{360^\circ}=(a,b) olarak bulunur.
\bigbreak
\textbf{ÖRNEK 1:}
\bigbreak

A(\sqrt{3},2) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 30^\circ döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
\bigbreak
\textbf{ÇÖZÜM 1:}
\bigbreak

R_{30^\circ}(\sqrt{3},2)=(\sqrt{3}.cos30^\circ - 2.sin30^\circ , \sqrt{3}.sin30^\circ + 2.cos30^\circ)

R_{30^\circ}(\sqrt{3},2)=(\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}-2.\frac{1}{2},\sqrt{3}.\frac{1}{2} + 2.\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})
\bigbreak
\textbf{ÖRNEK 2:}
\bigbreak

A(-2,5) noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90^\circ döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
\bigbreak
\textbf{ÇÖZÜM 2:}
\bigbreak

R_{90^\circ}(-2,5)=(-5,-2) olacaktır.
\bigbreak
\textbf{ÖRNEK 3:}
\bigbreak

R_{1260^\circ}(3,1)=(a,b) olduğuna göre a+b kaçtır?
\bigbreak
\textbf{ÇÖZÜM 3:}
\bigbreak

1260^\circ lik açının esas ölçüsü 180^\circ dir.

R_{1260^\circ}(3,1)=R_{180^\circ}(3,1)=(-3,-1)} olacaktır.

a+b=-3 + (-1 ) = -4 olarak bulunur.
\bigbreak
\textbf{ÖRNEK 4:}
\bigbreak

R_{225^\circ}(a,b)=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}) olduğuna göre a.b kaçtır?
\bigbreak
\textbf{ÇÖZÜM 4:}
\bigbreak

R_{225^\circ}(a,b)=(a.cos225^\circ - b.sin225^\circ, a.sin225^\circ + b.cos225^\circ)

R_{225^\circ}(a,b)=(a.(-\frac{\sqrt{2}}{2})-b.(-\frac{\sqrt{2}}{2}),a.(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + b.(-\frac{\sqrt{2}}{2}))

R_{225^\circ}(a,b)=((b-a).\frac{\sqrt{2}}{2}, (-a-b).\frac{\sqrt{2}}{2})=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})
\bigbreak

Buradan;

b-a=1

-a-b=3 \quad denklemleri elde edilir.

O halde a=-2 ve b=-1 olacaktır.

a.b=(-2).(-1)=2 olarak bulunur.


Bir cevap yazın

Araç çubuğuna atla