Dönme Dönüşümü

$\textbf{DÖNME DÖNÜŞÜMÜ}$
$\bigbreak$

Düzlemde bulunan bir noktayı, bir merkez noktası ve belirli bir açı yardımıyla düzlemdeki başka bir noktaya eşleyen dönüşüme $\textbf{dönme dönüşümü}$ denir.

Herhangi bir $A$ noktasının orijin etrafında pozitif yönde $\alpha$ açısı kadar dönme dönüşümü $R_\alpha(A)$ ile gösterilir.

Analitik düzlemde $A(a,b)$ noktasının orijin etrafında $\alpha$ açısı kadar dönmesiyle elde edilen nokta $A^{'}(m,n)$ olsun.
$\bigbreak$

$sin\beta=\frac{b}{|OA|}$ $\quad$ ve $\quad$ $cos\beta=\frac{a}{|OA|}$
$\bigbreak$

• $cos(\beta + \alpha) = \frac{m}{|OA^{'}|}$ $\quad$ ise $\quad$ $m = cos(\beta + \alpha).|OA^{'}|$ olur. $\quad$ $(|OA|=|OA^{'}|)$
$\bigbreak$

$m=|OA|.cos\beta . cos\alpha - |OA|.sin\beta . sin\alpha$

$m= |OA|.\frac{a}{|OA|}.cos\alpha - |OA|.\frac{b}{|OA|}.sin\alpha = a.cos\alpha - b.sin\alpha$
$\bigbreak$

• $sin(\beta + \alpha) = \frac{n}{|OA^{'}|}$ $\quad$ ise $\quad$ $n = sin(\beta + \alpha).|OA^{'}|$ olur. $\quad$ $(|OA|=|OA^{'}|)$
$\bigbreak$

$n=|OA|.sin\beta . cos\alpha + |OA|.cos\beta . sin\alpha$

$m= |OA|.\frac{b}{|OA|}.cos\alpha + |OA|.\frac{a}{|OA|}.sin\alpha = a.sin\alpha + b.cos\alpha$
$\bigbreak$

Sonuç olarak $A(a,b)$ noktasının orijin etrafında pozitif yönde $\alpha$ açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen nokta;

$A^{'}(m,n)=(a.cos\alpha - b.sin\alpha, a.sin\alpha + b. cos\alpha)$ olacaktır.
$\bigbreak$
$\textbf{NOT:}$
$\bigbreak$

$A(a,b)$ noktasının orijin etrafında pozitif yönde $90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$ ve $360^\circ$ döndürülmesiyle elde edilen noktalar;

• $R_{90^\circ}=(-b,a)$

• $R_{180^\circ}=(-a,-b)$

• $R_{270^\circ}=(b,-a)$

• $R_{360^\circ}=(a,b)$ olarak bulunur.
$\bigbreak$
$\textbf{ÖRNEK 1:}$
$\bigbreak$

$A(\sqrt{3},2)$ noktasının orijin etrafında pozitif yönde $30^\circ$ döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
$\bigbreak$
$\textbf{ÇÖZÜM 1:}$
$\bigbreak$

$R_{30^\circ}(\sqrt{3},2)=(\sqrt{3}.cos30^\circ - 2.sin30^\circ , \sqrt{3}.sin30^\circ + 2.cos30^\circ)$

$R_{30^\circ}(\sqrt{3},2)=(\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}-2.\frac{1}{2},\sqrt{3}.\frac{1}{2} + 2.\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$
$\bigbreak$
$\textbf{ÖRNEK 2:}$
$\bigbreak$

$A(-2,5)$ noktasının orijin etrafında pozitif yönde $90^\circ$ döndürülmesiyle elde edilen noktayı bulunuz.
$\bigbreak$
$\textbf{ÇÖZÜM 2:}$
$\bigbreak$