Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Soru Çözümü

Yeni yazılardan haberdar olmak için:

İnstagramdan bizi takip edebilirsiniz: https://www.instagram.com/matgunluk/

Pinterestten bizi takip edebilirsiniz: www.pinterest.com/matgunlukleri

Facebooktan bizi takip edebilirsiniz: https://www.facebook.com/matematikgunlugu19/

1)20 ve 100 tl’lik toplam 12 banknottan oluşan bir paranın değeri 800 tl’dir. Buna göre kaç tane 100 tl’lik banknot vardır?

ÇÖZÜM:

20 tl’lik banknot sayısı x, 100 tl’lik banknot sayısı y olsun. Verilen bilgileri yazalım:

1. x + y = 12
2. 20x + 100y = 800 olur. İkinci eşitlikte tüm ifadeleri 20 ile sadeleştirebiliriz.

x + 5y = 40

x + y = 12 biçiminde bir denklem sistemi elde ettik. Üstteki denklemden alttaki denklemi çıkarırsak;

4y = 28 ve y = 7 olarak bulunur. O halde 100 tl’lik 7 adet banknot vardır.

2) Bir araç 430 km’lik yolun bir kısmını 80 km/sa hızla, diğer kısmını ise 90 km/sa hızla almıştır. Bu aracın toplam gidiş süresi 5 saat olduğuna göre 80 km/sa hızla kaç saat yol almıştır?

ÇÖZÜM: 80 km/sa hızla a saat,

            90 km/sa hızla b saat yol alsın. Verilen bilgileri yazarsak;

1. a + b = 5
2. 80a + 90b = 430. İkinci eşitliği düzenleyip yeniden yazalım:

a + b = 5

8a + 9b = 43 şeklinde bir denklem sistemi elde ettik. Bizden istenen a değeri olduğu için denklem sisteminde b’yi yok etmeye çalışalım. İlk denklemi 9 ile çarpalım.

9a + 9b = 45

8a + 9b = 43. İlk denklemden ikinci denklem çıkarılırsa; a = 2 saat olarak bulunur.

3) 6x + (m – 3)y + 10 = 0 

    (5n + 2)x + 16y + 20 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre m. n kaçtır?

ÇÖZÜM: Denklem sisteminin çözüm kümesinin sonsuz elemanlı olabilmesi için doğrular çakışık olmalıdır yani doğruların katsayıları arasındaki oran birbirine eşit olmalıdır. O halde;

olmalıdır. Ayrı ayrı içler dışlar çarpımı yapılırsa;

12 = 5n +2 ve 2m – 6 = 16 denklemleri elde edilir. Buradan n = 2, m = 11 ve       

m. n = 11.2 = 22 olarak bulunur.

4) (a – 7)x – 3y + 3 = 0

     4x + 6y – 5 = 0 denklem sistemini sağlayan hiçbir (x, y) ikilisi olmadığına göre a kaçtır?

ÇÖZÜM: Denklem sistemini sağlayan hiçbir (x, y) ikilisi yoktur demek denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir demektir yani bu iki doğru birbirine paralel doğrulardır. İki doğru paralel ise;

olmalıdır. İçler dışlar çarpımı yapılırsa;

6a – 42 = –12 olur. Buradan a = 5 olarak bulunacaktır.

5) 5x + 7y = 6

   -4x + 9y = -34 denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisini bulunuz.

ÇÖZÜM: Birinci denklemi 4 ile, ikinci denklemi 5 ile çarpalım:

 20x + 28y = 24

-20x + 45y = -170 denklem sistemini elde ettik. Alt alta toplayalım:

73y = -146 ve y = -2 olarak bulunur. Bulunan y = -2 değerini ilk denklemde yerine yazalım:

5x – 14 = 6 ve x = 4 olarak bulunur.  O halde bu denklemi sağlayan ikili (4, -2) olarak bulunur.

6) 2x – y + 10 < 0

x – 3y + 6 ≥ 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

ÇÖZÜM: Eşitsizlik sistemlerinin belirttiği bölgeyi bulabilmek için;

1. Verilen doğruları ayrı ayrı çizelim. (Birinin “<”, birinin “≥” olduğuna dikkat!)
2. Doğruları çizdikten sonra bu doğruların alt kısmını mı üst kısmını mı taramamız gerektiğini belirleyelim.

1. 2x – y + 10 = 0 için;

x = 0 ise y = 10 ve y = 0 için x = -5 olarak bulunur yani bu doğru (0, 10) ve (-5, 0) noktalarından geçmeli. Eşitsizlik < olduğu için doğruyu kesikli çizgi ile çizeceğiz.

x – 3y + 6 = 0 için;

x = 0 ise y =2 ve y = 0 için x = -6 olarak bulunur yani bu doğru (0, 2) ve (-6, 0) noktalarından geçmeli. Eşitsizlik ≥ olduğu için doğruyu düz çizgi ile çizeceğiz.

1. Her iki eşitsizlikte de (0, 0) noktasını yerine yazıp eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığına bakalım.

2.0 – 0 + 10 < 0 olmadığı için birinci eşitsizlikte (0, 0) noktasının olmadığı kısmı tarayacağız.

0 – 3.0 + 6 ≥ 0 olduğu için ikinci eşitsizlikte (0, 0) noktasının olduğu kısmı tarayacağız.             Bulduğumuz bilgilere göre grafiği çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz.