Bölünebilme Kuralları (2. Yazı)

Bölünebilme kurallarını vermiştik bir önceki yazımızda. Peki bu kuralların dışında başka sayılarla bölme işlemi yapmamız istenirse ne yapacağız? Şöyle bir soru yöneltelim. Bir sayının 12 ile tam olarak bölünüp bölünmediğini bölme işlemi yapmadan anlayabilir miyiz? Cevabımız evet. 12 sayısını 3 x 4 biçiminde yazabiliyoruz ve 3 ile 4 sayıları aralarında asal sayılar yani biz eğer bir sayının hem 3’e hem de 4’e tam bölündüğünü bilirsek o sayı 12’ye de tam olarak bölünür diyeceğiz. Burada şöyle bir kural ortaya çıkacak; Bölme kuralını bildiğimiz sayılar dışında bir sayı verildiyse o sayıyı aralarında asal iki sayını çarpımı şeklinde ayırıp çarpanların kuralına göre işlem yapacağız. Bir örnek ile bu durumuinceleyelim:

Örnek olarak 24396 sayısını ele alalım.

3 ile tam bölüyor mu? 2 + 4 + 3 + 9 + 6 = 24 ve 24 sayısı 3’ün katı olduğu için 3 ile tam bölünür.

4 ile tam bölünüyor mu? Son iki basamağı olan 96 sayısı 4’ün katı olduğu için 4 ile tam bölünür.

24396 sayısı hem 3’e hem de 4’e tam bölündüğü için 12 ile tam olarak bölünür gerçekten bölme işlemini yaparsak bunun doğru olduğunu göreceğiz.

Birkaç örnek gösterelim bu kuralı uygulayabileceğimiz.

• 6 = 2 x 3 olduğu için 2 ve 3 ile tam bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünebilir.
• 15= 3 x 5 olduğu için 3 ve 5 ile tam bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünebilir.
• 20 = 4 x 5 olduğu için 4 ve 5 ile tam bölünebilen sayılar 20 ile tam bölünebilir.
• 30 = 3 x 10 olduğu için 3 ve 10 ile tam bölünebilen sayılar 30 ile tam bölünebilir.

Örnek: Beş basamaklı rakamları farklı 4a87b sayısı 30 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Bir sayı 30 ile tam bölünebiliyorsa 30 = 3 x 10 olduğu için 3’e ve 10’a da tam olarak bölünmelidir. Bölünebilme kurallarını hatırlarsak bir sayının 10’a tam bölünebilmesi için birler basamağındaki rakam 0 olmalıdır. O halde b=0 olacak.

4a870 sayısının 3’e tam bölünmesi gerek.

4 + a + 8 + 7 + 0 = 19 + a oldu. a yerine yazacağımız rakamlar toplamı 3’ün katı yapmalı. O halde a yerine 2, 5 ve 8 rakamları gelebilir. Soruda rakamları farklı dendiği için 8 rakamını alamayız. Bu durumda a yerine yazabileceğimiz 2 farklı değer vardır.

Örnek: x45y6 sayısının 36 ile tam bölünebilmesi için x+y ‘nin alabileceği en küçük değer nedir?

36 = 4 x 9 olduğu için sayı 4 ve 9’a tam bölünmelidir.

4’e bölünmesi için son iki basamak olan y6 4’ün katı olmalı. Bu durumda        y=1, 3, 5, 7, 9 değerlerini alabilir. x+y ‘nin en küçük olabilmesi için y=1 olarak seçilir.

x4516 sayısının 9’a tam bölünmesini sağlamalıyız.

x + 4 + 5 + 1 + 6 = x + 16 toplamı 9’un katı olmalı o halde x’in alabileceği en küçük değer 2 olur.

x + y = 2 + 1 = 3 olarak bulunur.

NOT: Bir A sayısının (m, n) gibi aralarında iki asal sayının çarpımına bölümünden kalan K olarak verilmişse;

• A sayısının m ile bölümünden kalan, K sayısının m ile bölümünden kalana eşittir.
• A sayısının n ile bölümünden kalan, K sayısının n ile bölümünden kalana eşittir.

Örnek: 7a46y sayısının 30 ile bölümünden kalan 11 ise, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

30 = 3 x 10 olduğu için 3 ve 10’a bölünmeyle ilgili işlem yapacağız.

Kalan 11 ise sayının 3’e bölümünden kalan, 11’in 3’e bölümünden kalan 2 sayısı olacaktır.

Kalan 11 ise sayının 10’a bölümünden kalan, 11’in 10’a bölümünden kalan 1 sayısı olacaktır.

Sayı 10’a bölündüğünde 1 kalanını veriyorsa birler basamağındaki rakam 1 olmalıdır.

7a461 sayısının 3’e bölümünden kalan 2 olmalı.

7 + a + 4 + 6 + 1 = 3k +2

18 + a = 3k +2

16 + a = 3k olmalıdır. Buradan x=2, 5, 8 değerlerini alabilir. x’in alabileceği değerler toplamı;

2 + 5 + 8 = 15 olarak bulunur.