Asal Çarpanlara Ayırma (soru çözümü)

Asal çarpanlara ayırma konusundan bahsetmiştik. Bu konu ile ilgili karşımıza çıkabilecek soru tarzlarını inceleyelim:

Örnek: 120 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?

120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Bu işlemi nasıl yapıyorduk hatırlarsak eğer; 120 sayısını bölünebildiği en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeliyiz.

Gördüğümüz üzere 120 sayısını bölen asal sayılar 2, 3 ve 5 sayıları. Toplamları= 2 + 3 + 5 = 10 olarak bulunur.

Örnek: 240 sayısının;

• Pozitif bölen sayısı a,
• Tam bölen sayısı b,
• Asal bölen sayısı c,

Olduğuna göre a + b – c kaçtır?

biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.

a= (4+1).(1+1).(1+1)=5.2.2=20 olarak pozitif bölen sayısı bulunur. Pozitif bölen sayısı kadar negatif bölen sayısı olduğu için tam bölen sayısı b = 2a = 2.20 = 40 olarak bulunur. 240 sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 5 sayıları olduğu için c=3 tür. a + b + c = 20 + 40 – 3 = 57 olur.

Örnek: sayısının negatif bölen sayısı 24’tür. Buna göre x kaçtır?

Bir sayının pozitif bölen sayısı ile negatif bölen sayısı birbirine eşit olduğu için bu sayının 24 tane P.B.S vardır. Asal çarpanlara ayırmadan yararlanalım: kısmı, 2 sayısı asal olduğu için ayrılmış durumda. Biz 27 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız.

O halde; olur.

P.B.S.= (3+1).(x+1)=24

4.(x+1)=24

x+1=6 ise x=5 olarak bulunur.

Örnek:

Asal olmayan pozitif bölen sayısından ne anlamalıyız? Pozitif bölen sayıların kaç tane olduğunu bulabiliyoruz ve bunlardan asal olanlarını belirleyebiliyoruz. O halde pozitif bölen sayısından asal bölenlerin sayısını çıkarırsak asal olmayan pozitif bölenlerin sayısını elde ederiz.

Buradan gördük ki asal bölenleri 2 ve 5 olduğu için 2 tane asal bölen var.

P.B.S. – 2 = 94 olmalı yani P.B.S.=96

P.B.S.=(x+5).(x+1)=96 olur. Buradan x+1=8 , x+5=12 ‘dir. O halde x=7 olur.

sayısı 62500…0  sonunda 7 tane sıfır olduğu için sayı 10 basamaklıdır.

Örnek: 

Buna benzer sorularda eşitliğin solundaki ifadenin bir tam kare olduğuna dikkat etmeliyiz. O halde eşitliğin sağ tarafını tam kare yapan en küçük x sayısını bulabilmek için asal çarpanlara ayırmadan yararlanacağız.

biçiminde yazılabilir. Bu ifadenin tam kare olabilmesi için 2 ve 3 asallarının kuvvetleri çift olmalıdır. O halde y yerine yazacağımız sayı bu sayıların kuvvetini çift yapacak en küçük sayı olmalıdır.

2’nin üssü 3 olduğundan çift yapabilmek için 1 tane 2’ye;

3’ün üssü 1 olduğundan çift yapabilmek için 1 tane 3’e ihtiyacımız vardır.

O halde y = 2.3 = 6 olarak bulunur.

Örnek: 

Bir üstteki soru ile aynı mantığı yürüterek bu kez tam küp yapmaya çalışalım.

biçimindedir. Bu kez asal sayıların üsleri 3’ün katı olmalıdır. 2’nin kuvveti 6 olduğu için herhangi bir şey yapmamıza gerek yok. 5’in kuvveti 1 olduğu için olmalıdır. O halde;

olduğu için a=20 olur.

Buradan a + b = 20 + 25 = 45 olarak bulunur.